🔍 SQL 查询的本质：隐藏在代码背后的数学运算

更新: 10/22/2025字数: 0 字 时长: 0 分钟

“SQL 语句看起来像是在查数据，但其实你在写数学公式。”

很多人学习 SQL 时，只关注语法：SELECT、WHERE、JOIN…… 但很少有人意识到：SQL 查询的本质其实是“数学运算” —— 它来自于一种严谨的数学理论：关系代数（Relational Algebra）。

注意

非关系型数据库（NoSQL）可“不适用”关系代数，它们也有自己的逻辑数学基础。

一、SQL 背后的数学世界

SQL（Structured Query Language）并不是凭空发明的。它诞生于上世纪 70 年代，基于 IBM 科学家 E.F. Codd 提出的 关系模型（Relational Model）。

在这个模型里：

关系模型概念	SQL 对应概念
关系（Relation）	表（Table）
元组（Tuple）	行（Row）
属性（Attribute）	列（Column）
关系运算（Relational Operations）	SQL 查询语句

换句话说，SQL 语句其实是对“数据集合”的数学操作。

二、SQL 查询 ≈ 集合运算

从数学视角看，SQL 查询操作的本质就是对集合的各种变换和组合。数据库就是一个集合运算引擎，执行的其实是一系列关系代数运算。

SQL 操作	对应的数学思想	含义
SELECT ... FROM	投影（Projection）	选取集合中的部分列
WHERE	选择（Selection）	筛选满足条件的行
JOIN	笛卡尔积 + 选择	合并两个集合并匹配
UNION	并集（Union）	合并集合并去重
INTERSECT	交集（Intersection）	取共同的部分
EXCEPT	差集（Difference）	去掉重叠的部分
GROUP BY	聚合（Aggregation）	按组进行统计
DISTINCT	去重（Set Uniqueness）	消除重复元素

三、六大基本关系代数运算 与 SQL 对照

让我们一步步拆开来看这些“数学运算”与 SQL 的对应关系。

① 选择（Selection）σ

从表中选出满足条件的行。

SQL 示例：

SELECT * FROM Employee WHERE salary > 10000;

代数表达式：

σ(salary > 10000)(Employee)

解释：对集合 Employee 进行筛选，只保留工资大于 10000 的记录。

② 投影（Projection）π

选出需要的列。

SQL 示例：

SELECT name, salary FROM Employee;

代数表达式：

π(name, salary)(Employee)

解释：只保留 name 和 salary 这两列，去掉其他列。

③ 并集（Union）∪

合并两个结构相同的集合。

SQL 示例：

SELECT name FROM Employee_US
UNION
SELECT name FROM Employee_EU;

代数表达式：

Employee_US ∪ Employee_EU

注意：UNION 默认会去重。

④ 差集（Difference）−

求在一个集合中有而另一个没有的部分。

SQL 示例：

SELECT name FROM Employee_US
EXCEPT
SELECT name FROM Employee_EU;

代数表达式：

Employee_US − Employee_EU

⑤ 笛卡尔积（Cartesian Product）×

SQL 示例：

SELECT * FROM Department, Employee;
-- 或者
SELECT * FROM Department CROSS JOIN Employee;

代数表达式：

Department × Employee

解释：每个部门与每个员工都组合成一行结果。

⑥ 交集（Intersection）∩

SQL 示例：

SELECT name FROM Employee_US
INTERSECT
SELECT name FROM Employee_EU;

代数表达式：

Employee_US ∩ Employee_EU

取两个表中共有的数据。

四、扩展关系代数运算：SQL 的高级操作

① 连接（Join）⋈

连接其实是“笛卡尔积 + 选择”的组合。

SQL 示例：

SELECT e.name, d.dept_name
FROM Employee e
JOIN Department d ON e.dept_id = d.id;

代数表达式：

σ(e.dept_id = d.id)(Employee × Department)

② 聚合（Aggregation）γ

对数据分组并统计。

SQL 示例：

SELECT dept_id, AVG(salary)
FROM Employee
GROUP BY dept_id;

代数表达式：

γ(dept_id, AVG(salary))(Employee)

③ 排序（Sorting）τ

SQL 示例：

SELECT * FROM Employee ORDER BY salary DESC;

代数表达式（扩展）：

τ(salary DESC)(Employee)

④ 重命名（Rename）ρ

SQL 示例：

SELECT e.name AS employee_name FROM Employee e;

代数表达式：

ρ(e(employee_name))(Employee)

五、完整示例：SQL 到 关系代数的映射

SQL 查询：

SELECT d.name, AVG(e.salary)
FROM Department d
JOIN Employee e ON e.dept_id = d.id
WHERE e.salary > 10000
GROUP BY d.name;

对应的关系代数：

γ(d.name, AVG(e.salary))
(
  σ(e.salary > 10000)
  (
    (Employee e) ⋈ (Department d)
  )
)

逐步解释：

1. (Employee e) ⋈ (Department d) → 连接员工与部门
2. σ(e.salary > 10000) → 筛选工资大于 10000
3. γ(d.name, AVG(e.salary)) → 按部门分组并计算平均工资

最终结果：按部门统计高薪员工的平均工资。

六、SQL 与 关系代数的对照速查表

关系代数符号	名称	SQL 对应
σ	选择（Selection）	WHERE
π	投影（Projection）	SELECT 列名
∪	并集（Union）	UNION
−	差集（Difference）	EXCEPT / MINUS
×	笛卡尔积	CROSS JOIN
∩	交集	INTERSECT
⋈	连接（Join）	JOIN ON
γ	聚合（Group）	GROUP BY
ρ	重命名（Rename）	AS
τ	排序（Order）	ORDER BY